在技术分析方法中认为股票价格的变化表现为长期趋势（在技术分析方法中,认为股票价格的变化）

在金融市场中，投资者最常用的两种交易策略是趋势策略和均值回归策略。如果一只股票表现出如下所示的趋势行为，则如果其上一时期上涨，则当前时期的价格更有可能上涨。

这是标准普尔500指数时间序列的一部分。这是趋势行为的一个例子。

当股票在时间t的回报在某种程度上取决于其在前一时间t-1的回报时，我们称之为自相关。在趋势机制中，回报是正相关的。

相比之下，均值回归股票的价格围绕其历史均值随机波动，并表现出回归历史均值的趋势。当存在均值回归时，如果当前时期价格上涨，则下一时期价格更有可能下降。

股票时间序列的一部分。这是均值回归行为的一个例子。

这两种机制发生在不同的时间范围内，并且它们经常共存。

在这两种情况下，当前价格都包含有关未来价格的有用信息。事实上，交易策略只有在资产价格趋势或均值回归时才能产生利润。否则，价格遵循所谓的随机行为。

均值回归时间序列

股票价格很少表现出均值回归行为。在绝大多数情况下，它们遵循随机行为。然而，均值回归价格序列可以通过将不同股票组合成一个表现出平稳性的协整投资组合来合成。虽然可以通过各种众所周知的标准统计检验来识别平稳性，但在本文中，我将重点关注基于所谓的赫斯特指数的强大分析类型，该指数与价格时间序列的分形指数有关。赫斯特指数提供了一种衡量金融时间序列偏离随机行为的程度的方法。这是一个非常简单的工具，可以帮助投资者决定采取哪种策略。

平稳性

现在，假设给定股票的价格表现出均值回归行为。这种行为可以通过以下随机微分方程(SDE)更正式地描述：

SDE描述均值回归过程。

这里，符号：

它们是t时刻的股票价格、t时刻的维纳过程、平均回归率、过程的均衡值或平均值及其波动率。根据该SDE，时间t1时的价格变化与时间t时的价格与均值之间的差值成正比。正如我们所看到的，如果价格小于平均值，则价格变化更有可能为正。该SDE的一个著名特例是所谓的Ornstein-Uhlenbeck过程。

奥恩斯坦-乌伦贝克过程以荷兰物理学家伦纳德奥恩斯坦和荷兰裔美国物理学家乔治尤金乌伦贝克命名。

两个最著名的平稳性检验是迪基-福勒检验(DF)和增强迪基-福勒检验(ADF)。

迪基-福勒测试和增强迪基-福勒测试

ADF测试是DF测试的扩展，让我们先了解一下后者。考虑以下简单模型：

其中S(t)是随时间变化的股票价格，是系数，最后一项是误差项。原假设为=1。因为在原假设下，S(t)和S(t-1)都是非平稳的，因此违反了中心极限定理，所以我们必须使用以下技巧。

迪基-富勒检验以统计学家韦恩富勒和大卫迪基的名字命名。ADF是此测试的扩展，适用于更复杂的时间序列模型。

定义一阶差分和参数如下：

回归模型可以方便地重写为：

然后，Dickey-Fowler检验假设：

DF测试背后的逻辑可以启发式地理解如下。如果S(t)是平稳的，它往往会返回到某个恒定均值，这意味着较大的值可能遵循较小的值，反之亦然。这使得该系列的当前值成为未来值的有力预测者。如果S(t)是非平稳的，则未来的变化不依赖于当前值。

ADF测试遵循类似的过程，但它应用于更复杂、因此更完整的模型：

其中，为实常数，为时间趋势系数，s为差异系数：

其中p是过程的滞后阶数，最后一项是误差。这里的检验统计量为：

其中分母是回归拟合的标准误差。在DF检验的情况下，我们期望Hurst指数

还有另一种方法可以测试过程中是否存在均值回归或趋势行为。这可以通过分析序列的扩散速率并将其与随机行为的扩散速率进行比较来实现。这个过程将产生赫斯特指数的概念，正如我们将看到的，它与分形指数密切相关。

虽然赫斯特指数的应用可以在数学的多个领域中找到，但我们在这里只关注其中两个领域，即分形和长记忆过程。

分形

分形可以定义为：

曲线或几何图形，其中每个部分具有与整体相同的统计特性。分形可用于对结构进行建模，例如侵蚀的海岸线或雪花，其中类似的图案会以逐渐较小的尺度再现。它们可用于描述部分随机或混沌现象，例如晶体生长、流体等、湍流和星系形成。

分形的一个例子是如下所示的谢尔宾斯基三角形。

用于测量表面粗糙度的“分形维数”与H有以下简单关系：

我们看到大的赫斯特指数与小的分形维数相关，即更平滑的曲线或曲面。一个例子如下所示。该图清楚地表明，随着H的增加，曲线确实变得更平滑。

随着H的增加，曲线变得更加平滑，分形维数减小

分形是自相似的。一种称为统计自相似性的自相似性存在于工程和应用数学的多个分支中。在表现出这种自相似性的数据集中，任何片段在统计上都与整个集合相似。统计自相似性最著名的例子是